距離空間 距離空間とは、次の公理を満たす距離関数(distance function) を持つ集合 のことをいう。 つまり、 2点 間の距離は 以上 2点 間の距離が であることは、 と は同じ点 距離関数の引数を入れ替えても、2点間の距離は変わらない を経由すると、2点 を…

2つの有限集合とが同じ数の元を持つとは、に含まれる元の個数とに含まれる元の個数を数えればわかる。 また、有限集合が有限集合以上の元を持つことは、集合の元の個数をと表すことでと表すことができるし、は有限集合が有限集合よりも元を多くもっていると…

関数の閉包の凸包と凸包の閉包は等しいとは限らない. その例を記す. 準備 話を始める前にいくつか定義しておく.まず, 次のような非負実数だけを集めた集合を定義しておく.次に, 関数のエピグラフをと定義する. これは点における関数値よりも上にある値とを組…

相対的内部は初回だとどんな集合なのかイメージしにくいと思う. なので, どんな集合をイメージしているのかを簡単に記しておく. アフィン包 相対的内部ではその定義にアフィン包を利用する. 最初の頃, これが自分にはどんな集合かがイメージしにくかった.定…

外測度, 特にルベーグ外測度についてのイメージを記しておく. 準備 ルベーグ外測度自体の定義の述べる前にいくつか準備をしておく.まず, 区間 とは次元ユークリッド空間の部分集合のことをいう. ただし, を指す. これはどういうことかというと, のとき, 閉区…

まぁ探せばでてくるのだけど、まとめて書いておく。 準備 ちゃんとした定義は位相の本とか最適化の本とか参照してほしい。 無制約最適化問題 無制約最適化問題(unconstrained optimization)とは関数の最小解を求めるような問題: のことをいう。 要は関数の最…

最適化問題の最適性条件について 考える問題 考える問題はとして、 という最適化問題。 等号条件は のように分解すればいいし、右辺にでない数値がくるような といった条件はとして のように変形すればいい。このような問題を制約付き最適化問題という。 許…

位相線形空間だとの近傍の基本系の中でもbalancedでabsorbingでsymmetricなものを選んでこれる。 わりと悩んだので書いておく。 symmetric 一番簡単だからこれから。 集合に対して という集合を定義する。がベクトル空間の部分集合であれば、をと書いたりす…

Fréchet空間 Fréchet空間とは位相空間のなかでも を満たすもののことをいう。 図にすると .st0{fill:none;stroke:#000000;stroke-miterlimit:10;} .st1{stroke:#000000;stroke-miterlimit:10;} みたいな感じ。 つまり、相異なる2点を選ぶと各々の2点がもう一…

netについて学んだことを記しておく感じで netって？ 位相で出てくる数列を一般化したようなもので、位相やってると出てくる。 数列だと添え字集合としてpreorderでフィルターを持つの部分集合を利用してるけど、以外のpreorderでフィルターを持つ集合を添え…