Fréchet空間

Fréchet空間とは位相空間 $(X, \mathcal{O})$ のなかでも

$\forall x, y \in X, (x \neq y \implies \exists O \in \mathcal{O}, x \in O \land y \not\in O)$

を満たすもののことをいう。図にすると

みたいな感じ。つまり、相異なる2点を選ぶと各々の2点がもう一方の点を含まない開近傍を持つような空間ということ。別名 $T_1$ 空間。

Hausdorff空間

対して、Hausdorff空間とは位相空間 $(X, \mathcal{O})$ のなかでも

$\forall x, y \in X, \exists O_1, O_2 \in \mathcal{O}, (x \neq y \implies x \in O_1 \land y \in O_2 \land O_1 \cap O_2 = \emptyset)$

を満たすもののことをいう。図にすると、

みたいなイメージ。つまり、相異なる2点を選ぶと各々の点の近傍の中でも共通部分を持たないような近傍 $O_1$ と $O_2$ をとることができるような空間のことをいう。別名 $T_2$ 空間。

Fréchet空間であってHaussdorff空間でない位相空間

本題。 Fréchet空間であってHaussdorff空間でない位相空間ってパッとは思い浮かばなかった... 実は無限集合 $X$ の部分集合の中で補集合の濃度が有限となるような集合と $\emptyset$ からなる集合

$\mathcal{O} = \{O \subseteq X \; | \; O = \emptyset \lor |X \setminus O| \lt \infty\}$

を位相とした位相空間 $(X, \mathcal{O})$ はFréchet空間であってHaussdorff空間でない空間となる。このような位相を補有限位相とか有限補集合位相とかいう。なぜこういった位相空間がHausdorff空間とならないのかは簡単に確かめられる。まず、任意に $(X, \mathcal{O})$ から空でない開集合 $O_1, O_2 \in \mathcal{O}$ をとってきて、その共通部分 $O_1 \cap O_2$ の補集合 $X \setminus (O_1 \cap O_2)$ を考える。すると、開集合の性質 $O_1 \cap O_2 \in \mathcal{O}$ から $|X \setminus (O_1 \cap O_2)| \lt \infty$ とならなければならないが、 $O_1 \cap O_2 = \emptyset$ とすると、明らかに $|X \setminus (O_1 \cap O_2)| = \infty$ となって矛盾する。