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数学のnet

数学 位相

netについて学んだことを記しておく感じで

netって？

位相で出てくる数列を一般化したようなもので、位相やってると出てくる。 数列だと添え字集合としてpreorderでフィルターを持つ\mathbb{N}の部分集合を利用してるけど、\mathbb{N}以外のpreorderでフィルターを持つ集合を添え字集合として指定できるように拡張している。

有向集合

preorderな集合Aの中でもフィルターをもつものを有向集合という。 すなわち、preorderな集合の中でも

\forall a, b \in A, \exists c \in A, a \leq c \land b \leq c

を満たすようなもののことを有向集合といっている。 例えば、集合Xの冪集合2^Xや\mathbb{R}は上の条件を全て満たしている。 具体的に冪集合だけ見ると、全体集合をX = \{1,2,3\}、順序として包含関係\subseteqを入れたものは

2^X = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1,2,3\}\}

だけど、この冪集合のハッセ図

からわかるように必ず条件

\forall A, B \in 2^X, \exists C \in 2^X, A \subseteq C \land B \subseteq C

を満たしている。

net

netとは上述した有向集合Aから位相空間 Xへの写像 A \mapsto Xのことを言う。 簡単に \{x_a\}_{a \in A}と書いたりする。 表記を見ればわかる通り、これは数列の一般化になっていて、 \mathbb{N}は簡単に確かめられるけど、有向集合だから添え字としてこの \mathbb{N}を指定すればnetはまさしく数列と同一のものとなっている。

netの収束

このnetにも数列と同様に収束が定義できる。 具体的には x \in Xの近傍を \mathcal{O}_xと書いて、

\forall O \in \mathcal{O}_x, \exists a_0 \in A, \forall a \geq a_0, x_a \in O

を満たす時、net \{x_a\}_{a \in A}は収束すると言ってこれを簡単に \lim x_a = xと書いたりする。 実は、一般にnetの収束先が高々1つかどうかはわからない。 ただ、位相空間 XがHausdorff空間であれば収束先が高々1つとなることが知られている。 証明は収束先を x_1, x_2 \in Xの相異なる2つに収束すると仮定して矛盾を導くという方法で行う。 まず、 XのHausdorff性から異なる2点 x_1, x_2の近傍 O_{x_1}, O_{x_2}の中でも

O_{x_1} \cap O_{x_2} = \emptyset

となるものを選んでくることができる。 netの収束の定義からある a_0 \in Aがあって、任意の a \geq a_0に対して、 x_a \in O_{x_1} \land x_a \in O_{x_2}となるが、これは O_{x_1}と O_{x_2}が共通点を持たないことに矛盾する。 よって x_1 = x_2となる。

まとめ

考えている位相空間がHausdorff空間であるとnetの収束先は高々1つとなるのだけど、意外と扱うのは \mathbb{R}だったり \mathbb{C}だったり行儀の良い集合が多かったりするから、あんまり収束先が複数個あると考えながらてのはないのかも。 ただ、一応Haudorffでないような位相空間は存在するから、気を付けておこう。