関数の初等な連続性の距離空間への一般化

距離空間

距離空間とは、次の公理を満たす距離関数(distance function) $d: X \times X \to \mathbb{R}$ を持つ集合 $X$ のことをいう。

$d(a, b) \geq 0$
$d(a, b) = 0 \iff a = b$
$d(a, b) = d(b, a)$
$d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)$

つまり、

2点 $a, b$ 間の距離は $0$ 以上
2点 $a, b$ 間の距離が $0$ であることは、 $a$ と $b$ は同じ点
距離関数の引数を入れ替えても、2点間の距離は変わらない
$b$ を経由すると、2点 $a, c$ をまっすぐ進むよりも距離は大きいか、等しくなる

という自然な距離の性質を満たす関数 $d: X \times X \to \mathbb{R}$ が定義されている集合のことを距離空間という。
距離空間は、考える集合 $X$ とその上の距離関数 $d: X \times X \to \mathbb{R}$ の2つを組みにしたもの $(X, d)$ として表される。
例えば、実数 $\mathbb{R}$ の上に、 $a \in \mathbb{R}$ と $\mathbb{R}$ の差の絶対値 $|a - bl|$ を距離関数として入れれば、その $[tex: (\mathbb{R}, | \cdot |)$ は距離空間になるし、2次元ユークリッド平面 $\mathbb{R}^2$ 上に $\|a - b\| = \sqrt{a^2 + b^2}$ を入れたもの $(\mathbb{R}^2, \| \cdot \|)$ も距離空間になる。

注意して欲しいのは、上の定義を満たすような集合と距離関数が与えられれば、それは距離空間と言われる、ということである。
つまり、自然に感じられないような定義、例えば、集合 $X$ 上に、

$d(x, y) = \begin{cases} 0 & \text{if} \enspace x = y \\ 1 & \text{otherwise} \end{cases}$

というような関数を定義してやると、これは距離関数となり、 $(X, d)$ は距離空間となる(確かめるのは簡単なので、試してみて欲しい)。

関数の連続性

実数空間 $\mathbb{R}$ 上の関数の連続性とは、理系の大学1年生ならならうかもしれないが、 $\epsilon$ - $\delta$ 論法という形で表される( $\epsilon$ - $N$ もあるけど、ここでは割愛)。

つまり、関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ が点 $a \in \mathbb{R}$ で連続(continuous)であるとは、任意の正の実数 $\epsilon > 0$ を考えたとき、ある

$\forall x \in \mathbb{R}; |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon$

を満たすような正の実数 $\delta > 0$ が存在することをいう。
すなわち、どんな距離 $\epsilon$ をとっても、 $a \in \mathbb{R}$ との距離が $\delta$ となるような全ての点 $x$ に対して $f(x)$ と $f(a)$ との距離が $\epsilon$ より小さくような $\delta$ が存在すれば、関数は連続であると主張している。

連続性の一般化

$(\mathbb{R}, |\cdot|)$ と、 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ によって写像された $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ はどちらも距離空間となっている。
これは、関数の連続性はその2つの距離空間によって定義されていると考えることができる。
つまり、この考え方を用いて、一般の距離空間 $(X, d)$ とその写像先 $(Y, d')$ における連続性を定義しようというわけだ。
すなわち、距離空間 $(X, d)$ に対して、 $(Y, d')$ へ写像する関数 $f: X \to Y$ が点 $a \in X$ で連続であるとは、任意の正の実数 $\epsilon > 0$ に対し、