関数の閉包の凸包と凸包の閉包は等しいか

関数 $f$ の閉包の凸包 $\mathrm{cl}(\mathrm{conv}(f))$ と凸包の閉包 $\mathrm{conv}(\mathrm{cl}(f))$ は等しいとは限らない.
その例を記す.

話を始める前にいくつか定義しておく.

まず, 次のような非負実数だけを集めた集合を定義しておく.

$\begin{align} \mathbb{R}_{\geq 0} = \{x : x \geq 0\} \end{align}$

次に, 関数 $f$ のエピグラフを

$\begin{align} \mathrm{epi}(f) = \{(x, y) : y \geq f(x)\} \end{align}$

と定義する.
これは点 $x$ における関数値 $f(x)$ よりも上にある値 $y \geq f(x)$ と $x$ を組にした集合のことをいう.
イメージとしては次のような感じになる.

関数よりも上にあるところがエピグラフ

また, 集合 $S$ が凸集合であるとは

$\begin{align} \forall x, y \in S, \forall \lambda \in [0, 1]; \lambda x + (1 - \lambda) y \in S \end{align}$

となることをいう.
これは任意の2点を結んだ線分が含まれるような集合のこといい, 凹みのないような集合を指す.

凸集合

凸でない集合

この凸集合を用いて, 部分集合の凸包 $\mathrm{conv}(S)$ というものを考える.
集合 $S$ の凸包とは $S$ を含む最小の凸集合と定義する.

星型の部分を入れたものが四角形領域の凸包

さらに, 集合 $S$ の閉包 $\mathrm{cl}(S)$ を $S$ を含む最小の閉集合と定義する.
例えば $\{x : x > 0\}$ の閉包は

$\begin{align} \mathrm{cl}(\{x : x > 0\}) = \{x : x \geq 0\} \end{align}$

となる.

これらを用いて関数の凸包と閉包を定義していく.
まず, 関数 $f$ の凸包 $\mathrm{conv}(f)$ とはエピグラフ $\mathrm{epi}(f)$ の凸包 $\mathrm{conv}(\mathrm{epi}(f))$ をエピグラフとするような関数のことをいう.

さらに, 関数 $f$ の閉包 $\mathrm{cl}(f)$ とはエピグラフ $\mathrm{epi}(f)$ の閉包 $\mathrm{cl}(\mathrm{epi}(f))$ をエピグラフとするような関数のことをいう.

さて, 以上を定義すると, $\mathrm{cl}(\mathrm{conv}(f)) = \mathrm{conv}(\mathrm{cl}(f))$ という関係があるのかどうなのかが気になると思う.

しかし, 残念ながらこれは等しいとは限らない.
反例として, 次のような関数 $f: \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ が存在する.

$\begin{align} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x = 0 \\ \dfrac{1}{x} & \text{if } x > 0 \end{cases} \end{align}$

この関数の $\mathrm{cl}(\mathrm{conv}(f))$ のエピグラフは次のような感じになる.

対して, $\mathrm{conv}(\mathrm{cl}(f))$ のエピグラフは次のような感じになる.

2つを見比べると $\mathrm{cl}(\mathrm{conv}(f))$ のエピグラフは $x$ 軸と $y$ 軸の部分が含まれているのに対し, $\mathrm{conv}(\mathrm{cl}(f))$ のエピグラフはその部分が含まれていない.

よって必ず $\mathrm{cl}(\mathrm{conv}(f)) = \mathrm{conv}(\mathrm{cl}(f))$ となるとは限らないのである.

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