位相線形空間だと $0$ の近傍の基本系の中でもbalancedでabsorbingでsymmetricなものを選んでこれる。わりと悩んだので書いておく。

symmetric

一番簡単だからこれから。集合 $S$ に対して

$S^{-1} = \{s^{-1} \mid s \in S\}$

という集合を定義する。 $S$ がベクトル空間の部分集合であれば、 $S^{-1}$ を $-S$ と書いたりする。

もし、 $S$ がこの $S^{-1}$ と等しい、すなわち $S = S^{-1}$ であるとき、 $S$ をsymmetric setという。なんか群みたい。例としては $\mathbb{Z}$ の部分集合 $\{-1, 1\}$ とか $\mathbb{R}$ の部分集合 $(-a, a)$ とか。

symmetricな集合 $A, B$ の共通部分 $A \cap B$ はsymmetricになる。証明は簡単で、 $x \in A \cap B$ とすると、 $x \in A$ から $-x \in A$ で、更に $x \in B$ から $-x \in B$ が言えるので $-x \in A \cap B$ となるからだ。

absorbing

これを解説するには、まず体 $K$ に次の公理を満たす関数 $|\ast|: K \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ を入れたものを考える必要がある。

$\forall x \in K, |x| \geq 0 \land (|x| = 0 \iff x = 0)$
$\forall x, y \in K, |xy| = |x||y|$
$\exists c \in \mathbb{R}_{\gt 0}, \forall x, y \in K, |x + y| \leq c \max(|x|, |y|)$

このような関数 $|\ast|: K \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ が入った体を付値体という。体に距離が入った感じ。

さらに、体 $K$ 上の空間 $E$ が

$E \times E$ は加法に関して位相可換群
$K \times E$ から $E$ への写像 $(\lambda, x) \mapsto \lambda x$ が連続

を満たしている必要がある。この空間は左位相線形空間といったりする。

本題だけど、 $K$ を付値体、 $E$ を $K$ 上の左位相線形空間として、 $A, B \subseteq E$ とする。 $|\lambda| \geq \alpha \implies \lambda A = \{\lambda a \mid a \in A\} \supseteq B$ となる $\alpha > 0$ が存在するとき、 $A$ は $B$ をabsorbingするというのだけど、さらに $A$ がどんな $E$ の一点部分集合もabsorbingするとき、Aをabsorbing setという。日本語だとabsorbingを併呑というらしい。(ブルバキ, 『数学原論 -位相線形空間-』, 1章1節5項, p.8)

absorbingな集合 $A, B$ の共通部分 $A \cap B$ はsymmetric同様absorbingとなる。証明はsymmetricな場合と比べてちょっと複雑。 $A, B \subseteq E$ がabsorbingであることから

$\forall x \in E, \exists \alpha_A > 0, \forall |\lambda_A| \geq \alpha_A, x \in \alpha_AA$

$\forall x \in E, \exists \alpha_B > 0, \forall |\lambda_B| \geq \alpha_B, x \in \alpha_BB$

なんだけど、 $x \in \alpha_AA, x \in \alpha_BB$ は書き換えると $x \in x / \alpha_A \in A, x \in x / \alpha_B \in B$ 。だから任意の $|\alpha| = \max(\alpha_A, \alpha_B)$ に対して、 $x / \alpha \in A \cap B$ となる。書き換えると、 $x \in \alpha (A \cap B)$ 。証明終わり。

absorbingな例

absorbingでない例

balanced

これもabsorbingと同じで付値体と左位相線形空間の概念を使う。

肝心の定義だけど、 $K$ を付値体として、 $E$ を $K$ 上の左位相線形空間とする。 $M \subseteq E$ が任意の $x \in M$ と $|\lambda| \leq 1$ なる $\lambda \in K$ にたいして、 $\lambda x \in M$ となるとき、すなわち $\lambda M \subseteq M$ となるとき、 $M$ をbalanced setという。日本語だと均衡らしい。(ブルバキ, 『数学原論 -位相線形空間-』, 1章1節5項, p.7)

実はこいつもsymmetricやabsorbingと同じように共通部分はこの性質を継承する。証明はいたって簡単。まず $x \in A \cap B$ とすると、 $|\lambda| \leq 1$ に対して $x\in A$ から $\lambda x \in A$ 。同様にして $\lambda x \in B$ 。証明終わり。

balancedな例

balancedでない例

近傍の基本系

$\mathcal{B}$ が $x$ の近傍の基本系であるとは $x$ の近傍全体の集合 $\mathcal{O}$ の中でも

$\forall U \in \mathcal{O}, \exists V \in \mathcal{B}, V \subseteq U$

を $\mathcal{B}$ が満たすことをいう。

なんでこんなものを考えるかというと、一般に近傍ごとにいろんな形があるから、それら全てを扱うのは難しいのだけど、扱い易い性質をもったより小さい近傍がそれらの近傍のなかにあれば、その扱い易い近傍だけを考えればよいので近傍全体を取り扱いやすくなるからだ。

本題

以上から示したい命題は

$0$ の近傍の基本系 $\mathcal{B}$ の中には全ての $V \in \mathcal{B}$ が

balanced

absorbing

symmetric

なものが存在する

まずbalancedから確認しよう。 $E$ のbalancedな部分集合の共通部分はbalancedだから、任意の $M \subseteq E$ について、 $M$ に含まれる最大のbalancedな集合 $N$ がある( $N = \emptyset$ となってしまう可能性があるけど、 $0 \in M$ なら $N = \emptyset$ となることはない)。 $0$ の近傍はこのような集合を含むが、その集合自体も $0$ を含むため、 $0$ の近傍となっている。以上から、任意の $0$ の近傍はbalancedな $0$ の近傍を部分集合として持つことが確かめられた。

次にabsorbingを確認する。実は任意の $0$ の近傍 $M$ はabsorbingとなる。実際、 $x \in E$ を初期点とした点列 $\left\{x_n = \frac{1}{n}x\right\}$ は $n \to \infty$ とすると $0$ へ収束して、 $M$ はこのような点列の一部を含む(absorbingの定義の一部を $A \supseteq \frac{1}{\lambda}B$ と書き換えればわかりやすいかも)。